Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов не равна 180°, то прямые не параллельны, то есть при достаточном продолжении пересекаются.
Доказательство. Если бы эти прямые не пересекались, то они были бы параллельны, и тогда сумма внутренних односторонних углов равнялась бы 180°, что противоречит условию. Теорема доказана.
Сформулируйте обратную теорему.
3.3. Взаимное расположение четырех прямых.
Мы изучили различные случаи взаимного расположения двух и трёх прямых на плоскости. Теперь изучим взаимное расположения четырёх прямых на плоскости. Изобразим разные случаи.
а ) две пересекающиеся прямые пересекают две другие пересекающиеся прямые:
б) каждая из двух пересекающиеся прямых пересекает две параллельные прямые:
в) две параллельные прямые пересечены двумя параллельными прямыми:
г) три параллельные прямые пересечены третьей прямой:
д) все четыре прямые параллельны:
Какие фигуры вы можете увидеть на этих рисунках? Например, на рис.3.23, слева, видна фигура, состоящая из четырех отрезков, два из которых параллельны. На рис.3.23 видно , что при пересечении двух параллельных прямых двумя другими параллельными прямыми получилась фигура, у которой противоположные стороны попарно параллельны и равны. Докажем это.
Лемма 1. При пересечении двух параллельных прямых двумя другими параллельными между собой прямыми получается фигура, у которой противоположные стороны параллельны.
Доказательство.
Пусть параллельные между собой
прямые a,
b
и
параллельные между собой прямые c,
d
пересекаются в точках A,
B,
C,
D
(рис.3.26).
Докажем, что АВ=С
D
и А
D=ВС.
Проведём
отрезок АС
(рис.3.27, а). Для начала докажем, что АВ=С
D
.
Углы ÐACD иÐС AB a и b и секущей AC. Углы ÐDAC иÐ ACB равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых c и d и секущей AC.
На луче АВ
отложим отрезок АЕ
, равный отрезку
CD
(рис.3.27, б).
Углы ÐACD
иÐС
AE
равны, значит, их
соответственные поперечины AD
и CE
равны. То есть АЕ
и DC
– соответственные поперечины углов ÐDAC
иÐ
ACB,
но
они равны по построению, а значит, угол Ð
ACЕ
равен углу ÐDAC.
Но угол ÐDAC
равен углу Ð
ACB.
Это означает, что равны углы Ð
ACЕ
иÐ
ACB,
то
есть точка Е
лежит на луче СВ
. По построению точка Е
лежит
на луче АВ
. Но эти лучи пересекаются в точке В,
то есть точки В
и Е
совпадают и АВ=АЕ=
CD
.
Итак мы доказали, что равны отрезки АВ и С D . Отрезки AD и CB равны как соответственные поперечины равных углов. Утверждение леммы 1 доказано.
Следствие 5: Противоположные углы фигуры ABCD равны (рис.3.27).
Мы знаем, что две прямые параллельны, если при пересечении их третьей прямой равны соответственные углы, или внутренние, или внешние накрест лежащие углы, или сумма внутренних, или сумма внешних односторонних углов равна 2d . Докажем, что верны и обратные теоремы, а именно:
Если две параллельные прямые пересечены третьей, то:
1. соответственные углы равны;
2. внутренние накрест лежащие углы равны;
3. внешние накрест лежащие углы равны;
4. сумма внутренних односторонних углов равна 2d;
5. сумма внешних односторонних углов равна 2d.
Докажем, например, что если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны.
Пусть прямые АВ и СD параллельны, а МN - их секущая (рис.). Докажем, что соответственные углы 1 и 2 равны между собой.
Допустим, что ∠1 и ∠2 не равны. Тогда при точке О можно построить ∠МОК, соответственный и равный ∠2 (рис.).
Но если ∠МОК = ∠2, то прямая ОК будет параллельна СD.
Получили, что через точку О проведены две прямые АВ и ОК, параллельные прямой СD. Но этого быть не может.
Мы пришли к противоречию, потому что допустили, что ∠1 и ∠2 не равны. Следовательно, наше допущение является неправильным и ∠1 должен быть равен ∠2, т. е. соответственные углы равны.
Установим соотношения между остальными углами. Пусть прямые АВ и СD параллельны, а МN - их секущая (рис.).
Мы только что доказали, что в этом случае соответственные углы равны. Положим, что какие-нибудь два из них имеют по 119°. Вычислим величину каждого из остальных шести углов. На основании свойств смежных и вертикальных углов мы получим, что четыре угла из восьми будут иметь по 119°, а остальные - по 61°.
Оказалось, что как внутренние, так и внешние накрест лежащие углы попарно равны, а сумма внутренних или внешних односторонних углов равна 180° (или 2d).
То же самое будет иметь место и при любом другом значении равных соответственных углов.
Следствие 1. Если каждая из двух прямых АВ и СD параллельна одной и той же третьей прямой МN, то первые две прямые параллельны между собой .
В самом деле, проведя секущую ЕF (рис.), получим:
а) ∠1 = ∠3, так как АВ || МN; б) ∠ 2 = ∠3, так как СО || МN.
Значит, ∠1 = ∠2, а это углы соответственные при прямых АВ и СD и секущей ЕF, следовательно, прямые АВ и СD параллельны.
Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой .
В самом деле, если ЕF ⊥ АВ, то ∠1 = d ; если АВ || СD, то ∠1 = ∠2.
Следовательно, ∠ 2 = d т. е. ЕF ⊥ СD .
AB и С D пересечены третьей прямой MN , то образовавшиеся при этом углы получают попарно такие названия:соответственные углы : 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;
внутренние накрест лежащие углы : 3 и 5, 4 и 6;
внешние накрест лежащие углы : 1 и 7, 2 и 8;
внутренние односторонние углы : 3 и 6, 4 и 5;
внешние односторонние углы : 1 и 8, 2 и 7.
Так, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказанному ∠ 4 = ∠ 6.
Следовательно, ∠ 2 =∠ 8.
3. Соответственные углы 2 и 6 одинаковы, поскольку ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Также убедимся в равенстве других соответственных углов.
4. Сумма внутренних односторонних углов 3 и 6 будет 2d, потому что сумма смежных углов 3 и 4 равна 2d = 180 0 , а ∠ 4 можно заменить идентичным ему ∠ 6. Также убедимся, что сумма углов 4 и 5 равна 2d.
5. Сумма внешних односторонних углов будет 2d, потому что эти углы равны соответственно внутренним односторонним углам , как углы вертикальные .
Из выше доказанного обоснования получаем обратные теоремы.
Когда при пересечении двух прямых произвольной третьей прямой получим, что:
1. Внутренние накрест лежащие углы одинаковы;
или 2. Внешние накрест лежащие углы одинаковые;
или 3. Соответственные углы одинаковые;
или 4. Сумма внутренних односторонних углов равна 2d = 180 0 ;
или 5. Сумма внешних односторонних равна 2d = 180 0 ,
то первые две прямые параллельны.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
1) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
2) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
3)Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
3. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
4 Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
5. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Свойства параллельных прямых
1) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
2) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
3) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
7. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
8.Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел х и у , которые при подстановке в эту систему обращают каждое её уравнение в верное числовое равенство.
9.Решить систему уравнений – значит найти все её решения или установить, что их нет.
1. Способы решения системы уравнений:
а) подстановка
б) сложение;
в) графический.
10.Сумма углов треугольника равна 180°.
11.Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
12.В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.
13Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.
14.Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным.
15. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным.
16. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой , а две другие стороны – катетами.
17. В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.
18. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
19. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
20. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
21 Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
22. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Признаки равенства прямоугольных треугольников: 1) по двум катетам; 2) по гипотенузе и острому углу; 3) по гипотенузе и катету; 4) по катету и острому углу
Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.
